Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Bạn đang xem: công thức lượng giác trong tam giác

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tớ có:

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì thế tổng những bình phương của nhị cạnh còn sót lại trừ chuồn nhị chuyến tích của nhị cạnh cơ nhân với $cosin$ của góc xen thân ái bọn chúng.

Ta đem những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ ngược của quyết định lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính chừng nhiều năm lối trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ đem những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là chừng nhiều năm những lối trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân ái một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ vì thế 2 lần bán kính của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo gót một trong số công thức sau

Xem thêm: số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp, bk lối tròn xoe nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nguyên tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác Lúc vẫn biết một vài nguyên tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết lần nguyệt lão tương tác trong số những góc, cạnh vẫn mang lại với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức và đã được nêu vô quyết định lí cosin, quyết định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các vấn đề về giải tam giác: Có 3 vấn đề cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhị góc.

=> Dùng quyết định lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhị cạnh và góc xen giữa

=> Dùng quyết định lí cosin nhằm tính cạnh loại tía.

Sau cơ sử dụng hệ ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với vấn đề này tớ dùng hệ ngược của quyết định lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần Note là một trong tam giác giải được Lúc tớ biết 3 nguyên tố của chính nó, vô cơ nên đem tối thiểu một nguyên tố chừng nhiều năm (tức là nguyên tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những vấn đề thực tiễn, nhất là những vấn đề đo lường.